【AI破解87年數學懸案】雅可比猜想現反例 數學家夥Claude Fable揭盅　陶哲軒確認無誤　張益唐7年舊事重提

Anthropic旗下數學家Levent Alpöge於7月19日在社交平台公布，他與該公司大型語言模型Claude Fable 5合作，找到雅可比猜想（Jacobian Conjecture）的明確反例，推翻此一自1939年由數學家Keller提出、懸而未決達87年的代數幾何難題。此反例為一個由三維複空間映射至三維複空間（C³→C³）的多項式函數，其雅可比行列式（Jacobian determinant）為固定非零常數負2，整條多項式僅約216個字元，結構精簡。Fields獎得主陶哲軒（Terence Tao）其後於7月21日在其個人網誌發文，確認有關計算及構造無誤。

反例結構精簡 陶哲軒稱「如同奇蹟」

雅可比猜想原本的陳述是：若一個多項式函數的雅可比行列式為固定非零常數，該函數理應存在多項式反函數，即函數應為「全域可逆」。Alpöge提出的反例推翻此一講法——函數在每一點的局部範圍內皆為可逆，但整體而言，卻有三個完全不同的點被映射至同一個輸出值，即函數並非全域一一對應。陶哲軒在網誌中形容，理論上此多項式的雅可比行列式展開後應為18次方程式，涉及1,329條方程式，僅得360個自由度，但構造出來的結果卻令所有非常數項系數完全歸零，形容此一結果「如同一場巨大的奇蹟」。陶哲軒同時披露，他在核實部分計算過程中，亦有借助AI聊天工具協助。

Claude角色如「畫筆」 反例僅限3維以上

據報道，Alpöge在尋找反例過程中，Claude Fable 5並非單純進行暴力搜尋，而是協助推理代數結構、生成具備特定性質的候選方案，扮演類似研究夥伴的角色。有評論將Claude在過程中的作用形容為「一支粉筆或白板筆」——即工具性質，最終判斷及構造仍需數學家本人主導。需要留意，今次反例僅證明雅可比猜想在三維及以上空間（N≥3）不成立，二維情形至今仍然懸而未決，仍有可能成立，屬於獨立未解問題。反例目前已有預印本公開，並經多名數學家獨立核實計算無誤，但正式學術期刊同行評審程序仍在進行中。

張益唐當年苦研7年 二維情形未解成終局

今次事件同時牽出美籍華裔數學家張益唐的往事。公開資料顯示，張益唐1985年赴美國普渡大學攻讀博士學位，選定雅可比猜想作為博士論文題目，師從當地代數幾何學者莫宗堅。莫宗堅將自己曾發表的一條引理，作為證明方向交予張益唐，但其後証實該引理本身存在根本性錯誤，令張益唐耗時約6年半至7年的研究心血付諸東流。畢業後，張益唐與導師關係疏離，莫宗堅未有為他撰寫推薦信，加上在學期間未發表論文，令他畢業後一度未能覓得學術教職，曾輾轉從事會計、外賣員、汽車旅館及三文治店員工等工作，直至1999年獲新罕布夏大學聘為講師，其後於2013年發表孿生素數猜想相關突破性論文，方才躋身國際知名數學家之列。值得留意的是，張益唐當年鑽研的是雅可比猜想的二維情形，與今次Alpöge證偽的三維情形屬不同問題，二維部分至今仍未解決，故今次反例並非直接「證明」張益唐當年方向正確，但事件仍令外界重新關注此一猜想本身的艱深程度。

從1939年提出至今，雅可比猜想困擾數學界近90年，如今首次在三維空間被明確推翻，被視為人工智能工具介入純數學研究的重要案例。惟猜想的二維情形仍未解決，正式學術期刊審查程序亦未完成，這條懸案是否真正劃上句號，仍需視乎後續同行評審結果而定。

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